3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 17, sin A = 2√5/5. Найдите BC.

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AC = 17 \), \( \sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5} \).

Найти: BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Из этого следует, что \( BC = AB \cdot \sin A \).

Также, из определения косинуса угла A:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

Мы знаем, что \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \). Найдем \( \cos A \):

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \]

\[ \cos A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Теперь найдем гипотенузу AB:

\[ AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{17}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{17 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{85}{\sqrt{5}} = \frac{85\sqrt{5}}{5} = 17\sqrt{5} \]

Наконец, найдем BC:

\[ BC = AB \cdot \sin A = 17\sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{17 \cdot 2 \cdot 5}{5} = 17 \cdot 2 = 34 \]

Ответ: 34