11. Вычислите интеграл методом подстановки: \( \int \frac{3x dx}{x^2 + 2} \).

Решение:

Введем замену переменной. Пусть \( u = x^2 + 2 \). Тогда \( du = 2x dx \), откуда \( x dx = \frac{1}{2} du \).

Подставим в интеграл:

\( \int \frac{3}{x^2 + 2} \cdot (x dx) = \int \frac{3}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} du \)

Интеграл от \( \frac{1}{u} \) равен \( \ln|u| \):

\( = \frac{3}{2} \ln|u| + C \)

Вернемся к исходной переменной, подставив \( u = x^2 + 2 \):

\( = \frac{3}{2} \ln|x^2 + 2| + C \)

Так как \( x^2 + 2 \) всегда положительно, модуль можно опустить.

Ответ: \( \frac{3}{2} \ln(x^2 + 2) + C \).