5. Миксбордер имеет контур, заданный линиями \( f(x) = -x^2 + 4x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \). Найти площадь данного участка земли, используя определённый интеграл.

Решение:

Площадь участка земли можно найти как определённый интеграл от функции \( f(x) \) по заданному промежутку от \( x=0 \) до \( x=1 \).

\( S = \int_{0}^{1} (-x^2 + 4x) dx \)

Проинтегрируем функцию:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_0^1 \)

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\( S = \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1)^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2(0)^2 \right) \)

\( S = \left( -\frac{1}{3} + 2 \right) - (0) \)

\( S = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \)

Ответ: \( \frac{5}{3} \).