7. Решите тригонометрическое уравнение: \( \sin{\frac{x}{2}} = -1 \).

Решение:

Общее решение уравнения \( \sin z = -1 \) имеет вид:

\( z = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

В нашем случае \( z = \frac{x}{2} \). Поэтому:

\( \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \)

Умножим обе части на 2:

\( x = 2 \cdot (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \)

\( x = 3\pi + 4\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = 3\pi + 4\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).