111. Решите уравнения: 1) 2^(x²)·(1/2)^(x/4) = ⁴√8; 2) 5^(0,1x)·(1/5)^(−0,06) = 5^(x²); 3) (1/2)^√(1−x)·(1/2)^(−1) = (1/2)^(2x); 4) 0,7^√(x+12)·0,7^(−2) = 0,7^√x.

1. Запишем обе части с основанием 2: \(2^{x^2-x/4}=2^{3/4}\). Тогда \(4x^2-x-3=0=(x-1)(4x+3)\), поэтому \(x=1\) или \(x=-\frac34\).
2. Левая часть равна \(5^{0{,}1x+0{,}06}\). Приравниваем показатели: \(x^2-0{,}1x-0{,}06=0\). Корни уравнения: \(x=0{,}3\) и \(x=-0{,}2\).
3. Область определения: \(x\le1\). Приравниваем показатели: \(\sqrt{1-x}-1=2x\). После возведения в квадрат получаем кандидаты \(x=0\) и \(x=-\frac54\); второй не удовлетворяет исходному равенству. Остаётся \(x=0\).
4. Область определения: \(x\ge0\). Приравниваем показатели: \(\sqrt{x+12}-2=\sqrt{x}\), то есть \(\sqrt{x+12}-\sqrt{x}=2\). Умножение на сумму корней даёт \(12=2(\sqrt{x+12}+\sqrt{x})\), откуда сумма корней равна 6. Решая вместе с разностью 2, получаем \(\sqrt{x}=2\), следовательно, \(x=4\).

Ответ: 1) −3/4, 1; 2) −0,2, 0,3; 3) 0; 4) 4.