117. \(\frac{\frac{49}{9} - 2}{\frac{49}{3} + 3}\) : \(\frac{1}{3} + \frac{7}{18}\)

Решение:

1. Вычислим числитель первой дроби: \( \frac{49}{9} - 2 = \frac{49}{9} - \frac{18}{9} = \frac{31}{9} \).
2. Вычислим знаменатель первой дроби: \( \frac{49}{3} + 3 = \frac{49}{3} + \frac{9}{3} = \frac{58}{3} \).
3. Разделим числитель на знаменатель первой дроби: \( \frac{\frac{31}{9}}{\frac{58}{3}} = \frac{31}{9} \cdot \frac{3}{58} = \frac{31}{3 \cdot 58} = \frac{31}{174} \).
4. Вычислим вторую дробь: \( \frac{1}{3} + \frac{7}{18} = \frac{6}{18} + \frac{7}{18} = \frac{13}{18} \).
5. Выполним деление: \( \frac{31}{174} : \frac{13}{18} = \frac{31}{174} \cdot \frac{18}{13} = \frac{31 \cdot 18}{174 \cdot 13} = \frac{31 \cdot 1}{9.67 \cdot 13} \). Упростим \( 174 \div 18 = 9.66... \). \( 174 = 9 \times 18 + 12 \)
6. \( \frac{31}{174} \cdot \frac{18}{13} = \frac{31 \cdot 18}{174 \cdot 13} = \frac{31 \cdot 18}{(9 \cdot 18 + 12) \cdot 13} \)
7. \( \frac{31}{174} \cdot \frac{18}{13} = \frac{31}{174/18} \cdot \frac{1}{13} = \frac{31}{9.67}\).
8. \( \frac{31}{174} \cdot \frac{18}{13} = \frac{31 \cdot 18}{174 \cdot 13} = \frac{558}{2262} \). Упростим, разделив числитель и знаменатель на 18: \( \frac{558 \div 18}{2262 \div 18} = \frac{31}{125.66}\).
9. \( \frac{31}{174} \cdot \frac{18}{13} = \frac{31 \cdot 1}{9.67 \cdot 13} \). \( 174 = 6 \times 29 \). \( 18 = 2 \times 9 \). \( \frac{31}{6 \times 29} \cdot \frac{2 \times 9}{13} \).
10. \( \frac{31}{174} \cdot \frac{18}{13} = \frac{31}{174/18} \cdot \frac{1}{13} = \frac{31}{9.67} \).
11. \( \frac{31}{174} \cdot \frac{18}{13} = \frac{31 \cdot 18}{174 \cdot 13} = \frac{558}{2262} \). Сократим дробь. \( 174 = 2 \times 3 \times 29 \). \( 18 = 2 \times 3^2 \). \( \frac{31 \cdot (2 \times 3^2)}{(2 \times 3 \times 29) \cdot 13} = \frac{31 \cdot 3}{29 \cdot 13} = \frac{93}{377} \).

Ответ: \( \frac{93}{377} \).