12. (1 балл) Найти площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6см и гипотенузой 10 см вокруг меньшего катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус.

В данном случае, вращение происходит вокруг меньшего катета. Следовательно, меньший катет является высотой конуса, а больший катет — радиусом основания.

По теореме Пифагора найдём длину другого катета (который будет радиусом основания):

\[ 6^2 + r^2 = 10^2 \]

\[ 36 + r^2 = 100 \]

\[ r^2 = 100 - 36 = 64 \]

\[ r = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Высота конуса \( h = 6 \text{ см} \), радиус основания \( r = 8 \text{ см} \).

Площадь поверхности конуса складывается из площади основания и площади боковой поверхности:

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l \]

где \( l \) — образующая конуса, которая в данном случае равна гипотенузе, то есть \( l = 10 \text{ см} \).

\[ S_{полн} = \pi \cdot 8^2 + \pi \cdot 8 \cdot 10 \]

\[ S_{полн} = 64\pi + 80\pi = 144\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: 144\(\pi\) см².