20. (3 балла) Основанием прямой призмы является ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Решение:

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \( V = S_{осн} \cdot h \).

1. Найдём площадь основания (ромба).

Сторона ромба \( a = 6 \text{ см} \), угол \( \alpha = 60^{\circ} \).

Площадь ромба можно найти по формуле: \( S_{осн} = a^2 \sin \alpha \).

\[ S_{осн} = 6^2 \sin 60^{\circ} = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

2. Найдём высоту призмы.

Меньшее диагональное сечение призмы является квадратом. Это означает, что высота призмы \( h \) равна меньшей диагонали ромба \( d_1 \).

Найдём диагонали ромба. В ромбе с углом 60° меньшая диагональ делит угол пополам, образуя два равносторонних треугольника со стороной \( a = 6 \text{ см} \).

Таким образом, меньшая диагональ \( d_1 = a = 6 \text{ см} \).

Следовательно, высота призмы \( h = d_1 = 6 \text{ см} \).

3. Найдём объём призмы.

\[ V = S_{осн} \cdot h = 18\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 108\sqrt{3} \text{ см}^3 \]

Ответ: \( 108\sqrt{3} \text{ см}^3 \).