22. (3 балла) Найдите все решения уравнения 2cos²x-3cosx+1=0, принадлежащие отрезку [0;2π]

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \cos x \). Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \cos x \) и решим два простейших тригонометрических уравнения:

1. \( \cos x = 1 \)

Решения этого уравнения: \( x = 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

На отрезке \( [0; 2\pi] \) это решение будет \( x = 0 \) (при \( k=0 \)) и \( x = 2\pi \) (при \( k=1 \)).

2. \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Решения этого уравнения: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

На отрезке \( [0; 2\pi] \):

При \( k=0 \): \( x = \frac{\pi}{3} \) и \( x = -\frac{\pi}{3} \) (последнее не входит в отрезок).

При \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \) (не входит в отрезок) и \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \).

Итак, решения на отрезке \( [0; 2\pi] \) следующие:

\[ x = 0, \quad x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{5\pi}{3}, \quad x = 2\pi \]

Ответ: \( 0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi \).