19. (3 балла) Найдите промежутки убывания функции f(x) = 2x³-3x² - 36x

Решение:

Функция убывает там, где её производная отрицательна.

Сначала найдём производную функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 36x) \]

\[ f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 36 \]

\[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 \]

Теперь найдём точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить интервалы монотонности:

\[ 6x^2 - 6x - 36 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 6:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).

\[ x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]

\[ x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]

Таким образом, мы получили интервалы: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 3) \), \( (3; +\infty) \).

Определим знак производной на каждом интервале:

• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( f'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 6(9) + 18 - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -2 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( f'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 6(16) - 24 - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.

Функция убывает на интервале, где производная отрицательна.

Ответ: \( [-2; 3] \).