12. Дано: AB = CD, AD = BC. Доказать: AB ∥ CD, BC ∥ AD.

1. Проведём диагональ BD и рассмотрим треугольники ABD и CDB. Имеем AB = CD, AD = CB по условию, BD — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам.
2. Из равенства треугольников следует равенство накрест лежащих углов при прямых AB и CD с секущей BD. Поэтому AB ∥ CD.
3. Также равны накрест лежащие углы при прямых AD и BC с секущей BD. Поэтому AD ∥ BC.

Ответ: AB ∥ CD и BC ∥ AD.