12. Известно, что →AB = k·→CD, причём точки A, B и C не лежат на одной прямой. При каких значениях k прямые AC и BD являются: а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые AC и BD быть скрещивающимися?

Поскольку точки A, B и C не лежат на одной прямой, векторы →AB и →AC неколлинеарны, а →AB ≠ 0. Поэтому k ≠ 0.

Обозначим →AB = u⃗ и →AC = v⃗. Из условия →AB = k·→CD следует →CD = u⃗/k. Тогда →BD = →BC + →CD = v⃗ − u⃗ + u⃗/k = v⃗ + (1/k − 1)u⃗.

а) Прямые AC и BD параллельны, когда их направляющие векторы v⃗ и →BD коллинеарны. Так как u⃗ и v⃗ неколлинеарны, это возможно только при 1/k − 1 = 0, то есть k = 1.

б) При k ≠ 1 направляющие векторы неколлинеарны. Прямые AC и BD лежат в одной плоскости: CD параллелен AB, поэтому точки A, B, C, D компланарны. Следовательно, прямые пересекаются.

Скрещивающимися они быть не могут, поскольку лежат в одной плоскости.

Ответ: а) k = 1; б) k ≠ 0 и k ≠ 1; скрещивающимися прямые быть не могут.