613. Дан параллелепипед MNPQM₁N₁P₁Q₁. Докажите, что: а) →MQ + →M₁Q₁ = →N₁P₁ + →NP; б) →PQ + →NP₁ = →NQ₁; в) →Q₁P₁ + →QQ₁ = →QP₁.

Обозначим →MN = u⃗, →MQ = v⃗, →MM₁ = w⃗. Тогда, относительно точки M, вершины параллелепипеда имеют радиус-векторы: N = u⃗, Q = v⃗, P = u⃗ + v⃗, M₁ = w⃗, N₁ = u⃗ + w⃗, P₁ = u⃗ + v⃗ + w⃗, Q₁ = v⃗ + w⃗.

1. а) →MQ = v⃗ и →M₁Q₁ = v⃗. Кроме того, →N₁P₁ = v⃗ и →NP = v⃗. Поэтому обе части равны 2v⃗.
2. б) →PQ = Q − P = −u⃗; →NP₁ = P₁ − N = v⃗ + w⃗. Левая часть равна −u⃗ + v⃗ + w⃗. Правая часть: →NQ₁ = Q₁ − N = v⃗ + w⃗ − u⃗. Равенство доказано.
3. в) →Q₁P₁ = P₁ − Q₁ = u⃗; →QQ₁ = w⃗. Их сумма равна u⃗ + w⃗. При этом →QP₁ = P₁ − Q = u⃗ + w⃗. Равенство доказано.