№ 12. Известно, что \(\cos \alpha = \frac{12}{13}\) и \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Найдите \(\sin \alpha\).

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. Подставим известное значение \(\cos \alpha\): \( \sin^2 \alpha + (\frac{12}{13})^2 = 1 \).
3. Вычислим квадрат косинуса: \( \sin^2 \alpha + \frac{144}{169} = 1 \).
4. Найдем \(\sin^2 \alpha\): \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \).
5. Извлечем квадратный корень: \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13} \).
6. Учитывая условие \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), угол \(\alpha\) находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен.
7. Следовательно, \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \).

Ответ: \(-\frac{5}{13}\).