№ 13. На рисунке изображен график функции $ y = f'(x) $ — производной функции $ f(x) $, определенной на интервале $ (-1; 16) $. Найдите количество точек максимума функции $ f(x) $.

Question

№ 13. На рисунке изображен график функции $ y = f'(x) $ — производной функции $ f(x) $, определенной на интервале $ (-1; 16) $. Найдите количество точек максимума функции $ f(x) $.

$Фото задания: № 13. На рисунке изображен график функции $ y = f'(x) $ — производной функции $ f(x) $, определенной на интервале \( (-1;…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Точки максимума функции $ f(x) $ соответствуют точкам, где производная $ f'(x) $ меняет знак с плюса на минус. На графике это соответствует случаю, когда график $ y = f'(x) $ пересекает ось абсцисс (ось X) и идет вниз.

Рассмотрим график производной $ y = f'(x) $:

В интервале $ (-1; \text{примерно } 2) $ производная $ f'(x) > 0 $, значит $ f(x) $ возрастает.
В точке $ x 2 $ производная равна нулю.
В интервале $ (2; \text{примерно } 7) $ производная $ f'(x) < 0 $, значит $ f(x) $ убывает.
В точке $ x 7 $ производная равна нулю.
В интервале $ (7; \text{примерно } 12) $ производная $ f'(x) > 0 $, значит $ f(x) $ возрастает.
В точке $ x 12 $ производная равна нулю.
В интервале $ (12; 16) $ производная $ f'(x) < 0 $, значит $ f(x) $ убывает.

Точка максимума возникает там, где функция переходит от возрастания к убыванию, то есть где производная меняет знак с '+' на '-'.

На графике видно, что производная $ f'(x) $ меняет знак с '+' на '-' в точке $ x 2 $ и в точке $ x 12 $.

Ответ: 2.