№ 17. Решите неравенство: \(\log_2 (8 + 7x) \geq \log_2 (4 + 5x)\)

Решение:

1. ОДЗ (область допустимых значений):
• \( 8 + 7x > 0 7x > -8 x > -\frac{8}{7} \)
• \( 4 + 5x > 0 5x > -4 x > -\frac{4}{5} \)
• Так как \(-\frac{4}{5} = -0.8\) и \(-\frac{8}{7} \approx -1.14\), то \(-\frac{4}{5} > -1.14\). Объединяя условия, получаем \( x > -\frac{4}{5} \).
2. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), при переходе от логарифмов к выражениям под знаком логарифма знак неравенства сохраняется: \( 8 + 7x \geq 4 + 5x \).
3. Решим полученное линейное неравенство: \( 7x - 5x \geq 4 - 8 \u0002 2x \geq -4 \u0002 x \geq -2 \).
4. Теперь необходимо учесть ОДЗ. Мы получили \( x \geq -2 \) и \( x > -\frac{4}{5} \).
5. Пересечение этих двух условий: \( x > -\frac{4}{5} \).

Ответ: \( x > -0.8 \).