№ 15. Найдите значение производной функции \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 7x + 22 \) в точке \( x_0 = -9 \).

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) \). Производная степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \).
2. \( f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - 7x + 22)' \).
3. \( f'(x) = \frac{1}{2} (x^2)' - (7x)' + (22)' \).
4. \( f'(x) = \frac{1}{2} 2x - 7 1 + 0 \).
5. \( f'(x) = x - 7 \).
6. Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = -9 \), подставив \( x = -9 \) в выражение для \( f'(x) \): \( f'(-9) = -9 - 7 \).
7. \( f'(-9) = -16 \).

Ответ: -16.