№ 16. Решите уравнение: \(\sqrt{2x^2 - 8x + 7} = 2 - x\)

Решение:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{2x^2 - 8x + 7})^2 = (2 - x)^2 \).
2. \( 2x^2 - 8x + 7 = 4 - 4x + x^2 \).
3. Перенесем все члены в левую часть: \( 2x^2 - x^2 - 8x + 4x + 7 - 4 = 0 \).
4. Приведем подобные слагаемые: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \u0002 1 \u0002 3 = 16 - 12 = 4 \).
6. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \).
7. Теперь необходимо проверить найденные корни, подставив их в исходное уравнение, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Также, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а правая часть уравнения \( 2 - x \) должна быть неотрицательной.
8. Проверка для \( x = 3 \): \( \sqrt{2(3)^2 - 8(3) + 7} = \sqrt{2(9) - 24 + 7} = \sqrt{18 - 24 + 7} = \sqrt{1} = 1 \). Правая часть: \( 2 - 3 = -1 \). \( 1 \neq -1 \), значит \( x = 3 \) — посторонний корень.
9. Проверка для \( x = 1 \): \( \sqrt{2(1)^2 - 8(1) + 7} = \sqrt{2 - 8 + 7} = \sqrt{1} = 1 \). Правая часть: \( 2 - 1 = 1 \). \( 1 = 1 \), значит \( x = 1 \) — верный корень.

Ответ: 1.