12. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 30 и ВС = 20. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

Длина отрезка АВ равна \( AC + CB = 30 + 20 = 50 \).

Окружность имеет центр в точке А и радиус, равный АС = 30.

Пусть ВТ — касательная к окружности, где Т — точка касания. Тогда отрезок АТ — радиус, проведённый к точке касания, и \( AT \perp BT \). Треугольник АТВ — прямоугольный с гипотенузой АВ.

По теореме Пифагора:

\[ BT^2 = AB^2 - AT^2 \]

\[ BT^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600 \]

\[ BT = \sqrt{1600} = 40 \]

Ответ: 40