21. Один из углов ромба равен 134°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Решение:

В ромбе противоположные углы равны, а сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

Если один угол равен \( 134^{\circ} \), то противоположный ему угол также равен \( 134^{\circ} \).

Два других угла равны \( 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ} \).

Большая диагональ ромба является биссектрисой большего угла, а меньшая диагональ — биссектрисой меньшего угла.

Значит, большая диагональ делит угол \( 134^{\circ} \) пополам, образуя углы \( 134^{\circ} / 2 = 67^{\circ} \).

Меньшая диагональ делит угол \( 46^{\circ} \) пополам, образуя углы \( 46^{\circ} / 2 = 23^{\circ} \).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом \( 90^{\circ} \).

Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла (\( 134^{\circ} \)) на противоположную сторону, образует прямоугольный треугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю, высотой и стороной ромба. Угол при вершине, где находится тупой угол ромба, равен \( 67^{\circ} \) (половина тупого угла). Угол при точке пересечения диагоналей равен \( 90^{\circ} \).

Угол между высотой и большей диагональю:

Пусть высота опущена из вершины \( B \) на сторону \( AD \) (точка \( H \)). Угол \( \angle BAD = 46^{\circ} \).

Диагональ \( AC \) делит угол \( \angle BAD \) пополам, т.е. \( \angle BAC = 23^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABH \). \( \angle BAH = 46^{\circ} \), \( \angle AHB = 90^{\circ} \). \( \angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 46^{\circ} = 44^{\circ} \).

Большая диагональ — \( BD \). Меньшая диагональ — \( AC \). Острый угол ромба — \( 46^{\circ} \). Тупой угол — \( 134^{\circ} \).

Диагональ, исходящая из вершины тупого угла, является большей диагональю.

Рассмотрим вершину \( B \) с углом \( 134^{\circ} \). Диагональ \( BD \) делит этот угол пополам: \( \angle ABD = 134^{\circ} / 2 = 67^{\circ} \).

Высота, опущенная из \( B \) на сторону \( AD \), образует прямоугольный треугольник. Угол \( \angle BAD = 46^{\circ} \). Угол между высотой и стороной \( AD \) равен \( 90^{\circ} \). Угол \( \angle BAH = 46^{\circ} \).

Мы ищем угол между высотой \( BH \) и диагональю \( BD \). Это угол \( \angle HBD \).

В треугольнике \( \triangle ABH \) \( \angle BAH = 46^{\circ} \), \( \angle AHB = 90^{\circ} \), \( \angle ABH = 44^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle ABD = 67^{\circ} \).

Угол \( \angle HBD = \angle ABD - \angle ABH = 67^{\circ} - 44^{\circ} = 23^{\circ} \).

Ответ: 23