18. Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( \alpha = 51^{\circ} \) — угол между диагональю и стороной прямоугольника.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя диагоналями и стороной прямоугольника. Этот треугольник равнобедренный.

Угол между диагоналями и стороной, прилегающей к ней, равен \( \alpha = 51^{\circ} \).

Угол между диагоналями и другой стороной прямоугольника будет \( 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ} \).

Углы, образованные при пересечении диагоналей, равны \( \alpha \) и \( 180^{\circ} - \alpha \).

Один из углов между диагоналями равен \( 51^{\circ} \). Другой угол равен \( 180^{\circ} - 51^{\circ} = 129^{\circ} \).

Острый угол между диагоналями равен \( 180^{\circ} - 2 × 39^{\circ} \) или \( 2 × 39^{\circ} \) если углы при основании равны 39. Рассмотрим треугольник, образованный двумя диагоналями и стороной. Углы при основании этого треугольника равны \( 51^{\circ} \) и \( 39^{\circ} \).

В треугольнике, образованном двумя диагоналями и стороной, углы при основании равны \( 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ} \) и \( 51^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и стороной. Углы при основании равны \( 51^{\circ} \). Третий угол \( 180^{\circ} - 2 × 51^{\circ} = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \). Это один из углов между диагоналями.

Другой угол между диагоналями равен \( 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

Острый угол равен \( 78^{\circ} \).

Альтернативное решение:

Углы, образуемые диагоналями прямоугольника, равны \( 2 × (90^{\circ} - 51^{\circ}) = 2 × 39^{\circ} = 78^{\circ} \) и \( 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

Ответ: 78