12. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E: точка B лежит на стороне AC, а точка E — на стороне AD; AC = AD и AB = AE. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC [окончание условия и заключения частично обрезано].

Рассмотрим треугольники ABC и AED. По условию AC = AD, AB = AE, а ∠BAC = ∠EAD, поскольку это один и тот же угол между сторонами угла CAD. Поэтому ΔABC ≅ ΔAED по двум сторонам и углу между ними; в частности, BC = DE.

Из равенства треугольников также следует ∠ACB = ∠ADE. С учётом того, что A, B, C лежат на одной прямой и A, E, D — на другой, получаем ∠BCD = ∠EDC. Теперь в треугольниках BCD и EDC равны BC и DE, CD — общая сторона, а углы между этими сторонами равны. Значит, ΔBCD ≅ ΔEDC по первому признаку. Следовательно, соответствующие углы ∠CBD и ∠DEC равны.

При указанном на рисунке заключении: ∠CBD = ∠DEC.