12. Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Пусть три угла равны \(4x\), \(5x\), \(7x\). Четвёртый угол равен их полусумме: \((4x+5x+7x):2=8x\).

По сумме углов четырёхугольника:

\(4x+5x+7x+8x=360^\circ\), поэтому \(24x=360^\circ\), \(x=15^\circ\).

Углы равны \(60^\circ,75^\circ,105^\circ,120^\circ\). Все они меньше \(180^\circ\), значит, четырёхугольник выпуклый.

Ответ: \(60^\circ,75^\circ,105^\circ,120^\circ\); четырёхугольник выпуклый.