12. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса \(9x^2+34y^2=306\).

Делим уравнение на 306: \(\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{9}=1\). Следовательно, \(a^2=34\), \(b^2=9\), большая ось направлена вдоль оси \(x\).

Длины осей: \(2a=2\sqrt{34}\), \(2b=6\). Фокусное расстояние от центра: \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25}=5\), поэтому фокусы \((-5;0)\) и \((5;0)\). Эксцентриситет \(e=\frac ca=\frac5{\sqrt{34}}\).

Ответ: длины осей \(2\sqrt{34}\) и 6; фокусы \((-5;0),(5;0)\); \(e=\frac5{\sqrt{34}}\).