12. Найти площадь ромба ABCD. В ромб вписана окружность с центром O и радиусом OE = 8; точка E — касание окружности со стороной BC, BE = x, EC = 4x.

Отрезки касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны. Поэтому касательная длина из вершины B равна x, а из вершины C — 4x. У соседних вершин ромба углы дополнительные, поэтому произведение этих касательных длин равно квадрату радиуса: x · 4x = 8².

Отсюда 4x² = 64, значит, x = 4. Сторона ромба BC = x + 4x = 20, а его периметр равен 80.

Площадь описанного около окружности ромба равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: S = 8 · 80/2 = 320.

Ответ: 320.