12. O — центр вписанной окружности. Найти площадь ΔABC. BE = 9x, EC = 8x, радиус окружности OD = 24. Дано: ∠A = ∠C.

Поскольку \(\angle A=\angle C\), противоположные им стороны равны: \(BC=AB\). Отрезки от одной вершины до точек касания равны, поэтому касательная от B равна \(BE=9x\), от C — \(EC=CD=8x\), а от A обозначим длину касательной через \(y\).

Из равенства сторон \(AB=BC\) получаем \(y+9x=9x+8x\), то есть \(y=8x\). Значит, \(AD=8x\), \(AC=AD+DC=16x\), а \(AB=BC=17x\).

Высота к основанию AC делит его пополам. По теореме Пифагора её длина равна \(\sqrt{(17x)^2-(8x)^2}=15x\), поэтому площадь равна \(\frac12\cdot16x\cdot15x=120x^2\). Полупериметр равен \(\frac{17x+17x+16x}{2}=25x\).

Площадь также равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: \(120x^2=24\cdot25x\). Отсюда \(x=5\), и \(S_{ABC}=120\cdot5^2=3000\).

Ответ: 3000.