9. O — центр вписанной окружности. Найти площадь ΔABC. ∠C = 90°, ∠A = 30°, радиус окружности равен 3.

Обозначим катет, лежащий напротив угла 30°, через \(x\). Тогда второй катет равен \(x\sqrt3\), а гипотенуза — \(2x\). Радиус вписанной окружности:

\(3=\frac{x+x\sqrt3-2x}{2}=\frac{x(\sqrt3-1)}{2}\), поэтому \(x=3(\sqrt3+1)\).

Площадь: \(S_{ABC}=\frac12\cdot x\cdot x\sqrt3=\frac{\sqrt3}{2}[3(\sqrt3+1)]^2=27+18\sqrt3\).

Ответ: \(27+18\sqrt3\).