12. Основания трапеции равны 10см и 24см, а боковые стороны 13см и 15см. Найди площадь трапеции.

Дано:

Трапеция ABCD.

Основания $$a$$ = 10 см, $$b$$ = 24 см.

Боковые стороны $$c$$ = 13 см, $$d$$ = 15 см.

Найти:

Площадь трапеции S.

Решение:

1. Проведем из вершины меньшего основания (например, B) параллельную линию к боковой стороне CD, до пересечения с большим основанием AD. Обозначим точку пересечения как E.
2. Тогда ABCE — параллелограмм, так как BC || AE и BE || CD.
3. Следовательно, BC = AE = 10 см, и BE = CD = 15 см.
4. Теперь рассмотрим треугольник ABE. Его стороны: AB = 13 см, BE = 15 см, AE = 10 см.
5. Найдем площадь этого треугольника, используя формулу Герона.
6. Сначала найдем полупериметр p треугольника ABE:
7. $$p = (13 + 15 + 10) / 2 = 38 / 2 = 19$$ см.
8. Площадь треугольника $$S_{ABE} = \sqrt{p(p-AB)(p-BE)(p-AE)}$$.
9. $$S_{ABE} = \sqrt{19(19-13)(19-15)(19-10)}$$.
10. $$S_{ABE} = \sqrt{19 \times 6 \times 4 \times 9}$$.
11. $$S_{ABE} = \sqrt{4104}$$ см². (Можно упростить, но пока оставим так).
12. Теперь найдем высоту треугольника ABE, опущенную на основание AE. Эта высота будет также высотой трапеции.
13. Площадь треугольника через высоту: $$S_{ABE} = (AE \times h) / 2$$.
14. $$4104 = (10 \times h) / 2$$.
15. $$4104 = 5h$$.
16. $$h = 4104 / 5 = 820.8$$ см². (Это неверный расчет, давайте попробуем другим способом).
17. Другой способ:
18. Опустим высоты из вершин B и C на основание AD. Пусть это будут BH и CK.
19. BH = CK = h.
20. AH + KD = AD - BC = 24 - 10 = 14 см.
21. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: $$h^2 + AH^2 = 13^2 = 169$$.
22. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDK: $$h^2 + KD^2 = 15^2 = 225$$.
23. Выразим $$h^2$$ из первого уравнения: $$h^2 = 169 - AH^2$$.
24. Подставим во второе уравнение: $$(169 - AH^2) + KD^2 = 225$$.
25. $$KD^2 - AH^2 = 225 - 169 = 56$$.
26. У нас есть система уравнений:
27. 1) $$KD - AH = 14$$ => $$KD = 14 + AH$$.
28. 2) $$KD^2 - AH^2 = 56$$.
29. Подставим (1) в (2): $$(14 + AH)^2 - AH^2 = 56$$.
30. $$196 + 28AH + AH^2 - AH^2 = 56$$.
31. $$196 + 28AH = 56$$.
32. $$28AH = 56 - 196$$.
33. $$28AH = -140$$.
34. $$AH = -140 / 28 = -5$$. Это не имеет смысла, так как длина отрезка не может быть отрицательной.
35. Вернемся к первому способу с построением параллельной линии.
36. Треугольник ABE имеет стороны 13, 15, 10.
37. Сделаем рисунок: проведем высоту из B к AD. Пусть точка пересечения будет H. Тогда BH = h.
38. Из C проведем высоту CK. CK = h.
39. AH + KD = 14.
40. В треугольнике ABH: $$h^2 + AH^2 = 13^2$$.
41. В треугольнике CDK: $$h^2 + KD^2 = 15^2$$.
42. $$KD = 14 - AH$$.
43. $$h^2 = 169 - AH^2$$.
44. $$h^2 = 225 - KD^2 = 225 - (14 - AH)^2$$.
45. $$169 - AH^2 = 225 - (196 - 28AH + AH^2)$$.
46. $$169 - AH^2 = 225 - 196 + 28AH - AH^2$$.
47. $$169 = 29 + 28AH$$.
48. $$169 - 29 = 28AH$$.
49. $$140 = 28AH$$.
50. $$AH = 140 / 28 = 5$$ см.
51. Теперь найдем высоту $$h$$:
52. $$h^2 = 169 - AH^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$.
53. $$h = \sqrt{144} = 12$$ см.
54. Площадь трапеции: $$S = (a + b) \times h / 2$$.
55. $$S = (10 + 24) \times 12 / 2$$.
56. $$S = 34 \times 12 / 2$$.
57. $$S = 34 \times 6$$.
58. $$S = 204$$ см².

Ответ: 204 см².