12. Острый угол равнобедренной трапеции равен углу между её диагоналями, отмеченному на рисунке. Найдите периметр этой трапеции, если её основания равны 4 и 6. (рис.)

Рисунок с отметкой угла на фотографии не виден. Если отмечен острый угол между диагоналями, задачу можно решить так.

Половина разности оснований равна \((6-4)/2=1\), а половина их суммы — \((6+4)/2=5\). Обозначим высоту трапеции через \(h\), а её острый угол через \(\alpha\). Тогда \(\tan\alpha=h\). Острый угол между диагоналями равен \(2\arctan(h/5)\). По условию эти углы равны:

\(\arctan(h)=2\arctan(h/5)\).

Применяя формулу тангенса двойного угла, получаем \(h=\frac{2h/5}{1-h^2/25}\). Так как \(h>0\), отсюда \(h^2=15\). Боковая сторона равна \(\sqrt{h^2+1^2}=4\), поэтому периметр равен \(4+6+4+4=18\).

Если на отсутствующем рисунке отмечен тупой угол между диагоналями, он не может равняться острому углу трапеции. Для однозначной проверки пришлите рисунок целиком.

Ответ: 18 (если отмечен острый угол между диагоналями).