13. Существует ли трапеция, основания которой равны 2 и 6, а боковые стороны — 1 и 5?

Разность оснований равна \(6-2=4\). В любой невырожденной трапеции разность оснований не может быть больше суммы длин боковых сторон и равна этой сумме только в вырожденном случае, когда обе боковые стороны лежат на одной прямой. Здесь сумма боковых сторон тоже равна \(1+5=6\), поэтому это соображение само по себе не исключает трапецию. Проверим возможные проекции боковых сторон.

Пусть их горизонтальные проекции со знаками равны \(x\) и \(y\), а высота — \(h>0\). Тогда \(x+y=4\), \(x^2+h^2=1\), \(y^2+h^2=25\). Вычитая равенства для квадратов сторон, получаем \((y-x)(y+x)=24\), откуда \(y-x=6\). Вместе с \(x+y=4\) это даёт \(x=-1\), \(y=5\). Тогда из \(x^2+h^2=1\) следует \(h=0\), что не является трапецией.

Ответ: нет, такой невырожденной трапеции не существует.