14. Существует ли трапеция, основания которой равны 4 и 9, а диагонали равны 5 и 7?

Расположим основание длины 9 горизонтально, а основание длины 4 — над ним. Пусть горизонтальные проекции диагоналей со знаками равны \(x+4\) и \(9-x\), а высота трапеции равна \(h\). Тогда квадраты диагоналей — это суммы квадратов соответствующих проекций и \(h^2\).

Если диагональ с проекцией \(x+4\) равна 5, а другая — 7, вычитание уравнений для их квадратов даёт \(x=41/26\). Тогда \(|x+4|=145/26>5\), хотя горизонтальная проекция не может быть больше самой диагонали.

При обратном распределении диагоналей получаем \(x=89/26\), и тогда \(|9-x|=145/26>5\), что также невозможно.

Ответ: нет, такой трапеции не существует.