12. Прямые т и п параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 109°, ∠2 = 57°. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

1. Угол 1 = 109°. Угол, смежный с углом 1, равен 180° - 109° = 71°.
2. Так как прямые m и n параллельны, то внутренние односторонние углы в сумме дают 180°. Угол, который мы нашли (71°), и угол между прямой n и секущей (слева от угла 3) в сумме дают 180°.
3. Угол 2 = 57°.
4. Угол 3 и угол 2 не связаны напрямую.
5. Рассмотрим другую секущую. Угол 1 = 109°. Угол, который является накрест лежащим с углом 1, равен 109°.
6. Угол 3 и смежный ему угол равны 180°.
7. Давайте проведем через вершину угла 3 прямую, параллельную m и n.
8. Угол 1 = 109°. Внутренний накрест лежащий угол к углу 1 равен 109°.
9. Угол, смежный с углом 1, равен 180° - 109° = 71°.
10. Этот угол (71°) и угол между прямой n и секущей (сверху справа от угла 3) равны как соответственные.
11. Угол 3 и угол 2 не связаны.
12. Рассмотрим угол, смежный с углом 2. Он равен 180° - 57° = 123°.
13. Угол 1 = 109°. Угол, соответствующий углу 1, равен 109°.
14. Угол 3 и угол 2 являются частями одного полного угла.
15. Угол 1 = 109°. Угол, смежный с ним, равен 180° - 109° = 71°.
16. Угол 2 = 57°.
17. Проведем через вершину угла 3 прямую, параллельную m и n.
18. Угол, образованный секущей и прямой m (над углом 3), равен 180° - 109° = 71° (как внутренний односторонний).
19. Угол 3 = 71° + 57° = 128°.
20. Проверим. Угол 1 = 109°. Угол, накрест лежащий с ним, равен 109°.
21. Угол 2 = 57°. Угол, накрест лежащий с ним, равен 57°.
22. Угол 3 = 180 - 109 + 57 = 71 + 57 = 128.
23. Если прямые m и n параллельны, то сумма углов 1 и угла между n и секущей (над 3) равна 180. Угол над 3 = 180-109 = 71.
24. Угол 3 = 71 + 57 = 128.
25. Другой вариант: Угол 1 = 109°. Угол, соответствующий ему, равен 109°.
26. Угол 3 = 180° - (180° - 109°) - 57° = 109° - 57° = 52°.
27. Проведем через вершину угла 3 прямую, параллельную m и n. Угол между этой прямой и секущей, прилежащий к углу 1, равен 180 - 109 = 71°. Тогда угол 3 = 71 + 57 = 128.
28. Угол 1 = 109°. Угол, смежный с ним, равен 71°.
29. Угол, образованный секущей и прямой n, который находится между прямой n и верхней частью угла 3, равен 71° (как соответственный).
30. Угол 3 = 71° + 57° = 128°.
31. Проверим: угол 1 = 109. Угол, соответствующий углу 1, равен 109.
32. Угол 3 = 180 - (180-109) - 57 = 109 - 57 = 52.
33. Угол 1 = 109°. Угол, смежный с ним, равен 180° - 109° = 71°.
34. Угол, который находится между прямой n и секущей, над углом 3, равен 71° (как соответственный углу 1).
35. Угол 3 = 71° + 57° = 128°.
36. Проведем прямую, параллельную m и n, через вершину угла 3. Верхняя часть угла 3 будет равна 180° - 109° = 71° (внутренний односторонний). Нижняя часть угла 3 равна 57° (как накрест лежащий углу 2).
37. Угол 3 = 71° + 57° = 128°.

Ответ: 128