12. Решите логарифмическое уравнение: \( \log_2 (4 - x) + \log_2 (1 - 2x) = 2 \log_2 3 \)

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \) и \( n \log_a b = \log_a b^n \).

\( \log_2 ((4 - x)(1 - 2x)) = \log_2 3^2 \)

\( \log_2 (4 - 8x - x + 2x^2) = \log_2 9 \)

\( \log_2 (2x^2 - 9x + 4) = \log_2 9 \)

Приравниваем аргументы логарифмов:

\( 2x^2 - 9x + 4 = 9 \)

\( 2x^2 - 9x + 4 - 9 = 0 \)

\( 2x^2 - 9x - 5 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(2)(-5) = 81 + 40 = 121 \)

\( \sqrt{D} = 11 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 · 2} = \frac{20}{4} = 5 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2 · 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \)

Проверим область допустимых значений:

\( 4 - x > 0 → 4 > x \)

\( 1 - 2x > 0 → 1 > 2x → x < 0.5 \)

Для \( x_1 = 5 \): \( 4 - 5 = -1 \) (не подходит).

Для \( x_2 = -0.5 \): \( 4 - (-0.5) = 4.5 > 0 \) и \( 1 - 2(-0.5) = 1 + 1 = 2 > 0 \) (подходит).

Ответ: -0.5.