18. Найдите \( \cos a \) и \( \mathrm{tg} a \), если \( \sin a = \frac{5}{13} \) и \( a \) — угол II координатной четверти.

Решение:

1. Найдём \( \cos a \):

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).

\( \cos^2 a = 1 - \sin^2 a \)

\( \cos^2 a = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 \)

\( \cos^2 a = 1 - \frac{25}{169} \)

\( \cos^2 a = \frac{169 - 25}{169} \)

\( \cos^2 a = \frac{144}{169} \)

\( \cos a = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} \).

Так как \( a \) — угол II координатной четверти, косинус отрицателен. Следовательно, \( \cos a = -\frac{12}{13} \).

2. Найдём \( \mathrm{tg} a \):

Используем определение тангенса: \( \mathrm{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} \).

\( \mathrm{tg} a = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} \)

\( \mathrm{tg} a = \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{13}{12}\right) \)

\( \mathrm{tg} a = -\frac{5}{12} \)

Ответ: \( \cos a = -\frac{12}{13}, \mathrm{tg} a = -\frac{5}{12} \).