2. Расположите числа в порядке возрастания: \( 2^\frac{3}{4}, 2^1, 2^\frac{1}{2}, 2^\frac{2}{3} \)

Решение:

Так как основание степени \( 2 \) больше 1, функция \( y = 2^x \) является возрастающей. Следовательно, чтобы расположить числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели степени в порядке возрастания.

Сравним показатели степени: \( \frac{3}{4}, 1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3} \).

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

• \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \)
• \( 1 = \frac{12}{12} \)
• \( \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \)
• \( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \)

В порядке возрастания показатели: \( \frac{6}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12} < \frac{12}{12} \), что соответствует \( \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < 1 \).

Значит, числа в порядке возрастания:

\( 2^\frac{1}{2} < 2^\frac{2}{3} < 2^\frac{3}{4} < 2^1 \).

Ответ: \( 2^\frac{1}{2}, 2^\frac{2}{3}, 2^\frac{3}{4}, 2^1 \).