12. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

Доказательство:

1. Пусть дан равнобедренный $$\triangle ABC$$ с основанием $$AC$$. Проведем биссектрису $$BD$$ угла $$B$$ к основанию $$AC$$.
2. Рассмотрим $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$.
3. $$AB = CB$$ (по условию).
4. $$\angle ABD = \angle CBD$$ (по построению, $$BD$$ — биссектриса).
5. $$BD$$ — общая сторона.
6. По первому признаку равенства треугольников, $$\triangle ABD = \triangle CBD$$.
7. Из равенства треугольников следует:
• $$AD = CD$$ (значит, $$BD$$ — медиана, так как делит основание пополам).
• $$\angle BDA = \angle BDC$$. Так как эти углы смежные, их сумма равна 180°. Следовательно, $$\angle BDA = \angle BDC = 180° / 2 = 90°$$ (значит, $$BD$$ — высота).

Вывод: Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой. Теорема доказана.