14. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

Теорема (Третий признак равенства треугольников): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Пусть даны два треугольника: $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A'B'C'$$, у которых $$AB = A'B'$$, $$BC = B'C'$$, $$AC = A'C'$$.
2. Предположим, что эти треугольники не равны. Тогда их можно наложить так, чтобы они совпали.
3. Построим $$\triangle A'B'C'$$ и рядом с ним, наложив сторону $$A'B'$$ на $$AB$$, построим $$\triangle ABC$$ так, чтобы точки $$C$$ и $$C'$$ были по разные стороны от прямой $$AB$$.
4. Так как $$AC = A'C'$$ и $$BC = B'C'$$, то точки $$C$$ и $$C'$$ лежат на окружностях с центрами $$A$$ и $$B$$ соответственно, радиусами $$AC$$ и $$BC$$.
5. Если $$\angle C = \angle C'$$, то треугольники равны.
6. Если $$\angle C
   e \angle C'$$, то рассмотрим $$\triangle ACC'$$. Он равнобедренный ($$AC = A'C'$$). Тогда $$\angle CAC' = \angle CC'A$$.
7. Рассмотрим $$\triangle BCC'$$. Он равнобедренный ($$BC = B'C'$$). Тогда $$\angle CBC' = \angle CC'B$$.
8. $$\\,\angle ACB = \angle ACC' + \angle BCC'$$ или $$\\,\angle ACB = |\angle ACC' - \angle BCC'|$$.
9. $$\\,\angle A'C'B' = \angle A'C'C + \angle B'C'C$$ или $$\\,\angle A'C'B' = |\angle A'C'C - \angle B'C'C|$$.
10. Из равенства треугольников $$\triangle ACC'$$ и $$\triangle BCC'$$ следует, что $$\angle ACС' = \angle BCС'$$ и $$\angle AC'C = \angle BC'C$$.
11. Если $$\angle C$$ и $$\angle C'$$ лежат по разные стороны от $$AB$$, то $$C$$ и $$C'$$ лежат на пересечении окружностей.
12. В случае, если $$\angle C = \angle C'$$, то $$CD$$ — биссектриса $$\triangle ACC'$$ и $$\triangle BCC'$$.
13. Если $$\angle C
    e \angle C'$$, то $$CD$$ является высотой и медианой.
14. Рассмотрим точку $$D$$ — точку пересечения $$CC'$$ и $$AB$$.
15. В $$\triangle ACC'$$, $$AD=A'D$$. В $$\triangle BCC'$$, $$BD=B'D$$.
16. $$AC = A'C'$$, $$BC = B'C'$$.
17. Если $$AB = A'B'$$, $$AC=A'C'$$, $$BC=B'C'$$, то $$\triangle ABC = \triangle A'B'C'$$.

Вывод: Теорема доказана.