19. Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную этой прямой.

Чтобы построить прямую, проходящую через данную точку $$M$$ на прямой $$a$$ и перпендикулярную этой прямой:

1. Построение:
• Поставь раствор циркуля так, чтобы он был больше расстояния от точки $$M$$ до конца прямой $$a$$ (или произвольный, но достаточный).
• Из точки $$M$$ проведи дугу (или окружность), которая пересечет прямую $$a$$ в двух точках, симметричных относительно $$M$$. Обозначим их $$A$$ и $$B$$.
• Из точек $$A$$ и $$B$$ проведи дуги одинакового радиуса (большего, чем $$AM$$ и $$BM$$) так, чтобы они пересеклись в двух точках $$P$$ и $$Q$$ (по разные стороны от прямой $$a$$).
• Соедини точки $$P$$ и $$Q$$. Прямая $$PQ$$ будет перпендикулярна прямой $$a$$ и проходить через точку $$M$$.
2. Объяснение:
• Точки $$A$$ и $$B$$ равноудалены от $$M$$.
• Треугольники $$\triangle PAM$$ и $$\triangle PBM$$ равны по третьему признаку равенства (PA=PB, MA=MB, PM — общая). Следовательно, $$\angle PMA = \angle PMB$$.
• Треугольники $$\triangle PAQ$$ и $$\triangle PBQ$$ равны по третьему признаку равенства (PA=PB, QA=QB, PQ — общая). Следовательно, $$\angle PMA = \angle PMB$$.
• Так как $$\angle PMA$$ и $$\angle PMB$$ смежные, то $$\angle PMA = \angle PMB = 90°$$.
• Следовательно, прямая $$PQ$$ перпендикулярна прямой $$a$$.