20. Объясните, как построить середину данного отрезка.

Чтобы построить середину данного отрезка $$AB$$:

1. Построение:
• Из точки $$A$$ проведи дугу окружности произвольным радиусом (большим половины отрезка $$AB$$).
• Из точки $$B$$ проведи дугу окружности тем же радиусом так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках $$P$$ и $$Q$$ (по разные стороны от отрезка $$AB$$).
• Соедини точки $$P$$ и $$Q$$ прямой.
• Точка пересечения прямой $$PQ$$ и отрезка $$AB$$ будет серединой отрезка $$AB$$.
2. Объяснение:
• Треугольники $$\triangle PAQ$$ и $$\triangle PBQ$$ равны по третьему признаку равенства (PA=PB, QA=QB, PQ — общая).
• Следовательно, $$\angle PAQ = \angle PBQ$$ и $$\angle APQ = \angle BPQ$$.
• Рассмотрим $$\triangle PAB$$. Так как $$PA=PB$$ (по построению), то $$\triangle PAB$$ — равнобедренный.
• $$PQ$$ является биссектрисой угла $$APB$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.
• Следовательно, точка пересечения $$PQ$$ и $$AB$$ делит $$AB$$ пополам.