12) В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в O. ∠ABO = 60°. M — середина AD, OM ⟂ AD; P лежит на CD и OP ⟂ CD. Найти α = ∠AOM и β — угол между OC и OP.

Поскольку угол при B между BA и BD равен 60°, угол между диагональю BD и горизонтальной стороной равен 90° − 60° = 30°. Диагональ AC образует с AD такой же угол, поэтому ∠OAM = 30°.

Так как M — середина AD, а диагонали прямоугольника пересекаются в центре, O равноудалена от A и D, а OM перпендикулярна AD. В прямоугольном треугольнике AOM углы при A и O дополняют друг друга до 90°, следовательно, α = 60°.

OP перпендикулярна CD, а CD ∥ AB, поэтому OP горизонтальна. Диагональ OC образует с горизонталью угол 30°, следовательно, β = 30°.

Ответ: α = 60°, β = 30°.