12. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (∠C — прямой) вписан квадрат DCFE, имеющий с ним общий прямой угол, а вершина противоположного угла лежит на гипотенузе AB. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен 18 см.

Сторона квадрата равна 18 : 4 = 4,5 см. Пусть катет равен a. Расстояние от вершины C до гипотенузы AB в направлении, параллельном катетам, даёт для точки E условие: сумма её отступов вдоль двух катетов равна a. Каждый такой отступ равен стороне квадрата, поэтому a = 4,5 + 4,5 = 9 см.

Ответ: катет равен 9 см.