12.Задача: Найти объём тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 24 см и острым углом 30° вокруг меньшего катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. В данном случае вращение происходит вокруг меньшего катета. Гипотенуза \( c = 24 \) см. Один из острых углов \( \alpha = 30^{\circ} \).

1. В прямоугольном треугольнике напротив угла в \( 30^{\circ} \) лежит катет, равный половине гипотенузы. Этот катет будет осью вращения (меньший катет, т.к. напротив меньшего угла лежит меньшая сторона).
2. Пусть \( \alpha = 30^{\circ} \). Тогда меньший катет \( a = \frac{c}{2} \) (он же высота конуса \( h \)).
3. \( h = a = \frac{24}{2} = 12 \) см.
4. Второй катет \( b \) (он же радиус основания конуса \( r \)) найдем по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
5. \( 12^2 + b^2 = 24^2 \) => \( 144 + b^2 = 576 \) => \( b^2 = 576 - 144 = 432 \).
6. \( b = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} \) см.
7. Итак, радиус основания конуса \( r = b = 12\sqrt{3} \) см, а высота конуса \( h = a = 12 \) см.
8. Объём конуса \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
9. \( V = \frac{1}{3}\pi \cdot (12\sqrt{3})^2 \cdot 12 \).
10. \( V = \frac{1}{3}\pi \cdot (144 \cdot 3) \cdot 12 = \frac{1}{3}\pi \cdot 432 \cdot 12 \).
11. \( V = \pi \cdot 432 \cdot 4 = 1728\pi \) см³.

Ответ: \( 1728\pi \) см³.