8. Задача: Площадь боковой поверхности конуса равна 15 \( \pi \) см², а площадь его основания на 6 \( \pi \) см² меньше. Найдите объём конуса.

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} = 15\pi \) см². Площадь основания \( S_{осн} \) на \( 6\pi \) см² меньше, чем \( S_{бок} \).

1. Найдём площадь основания: \( S_{осн} = S_{бок} - 6\pi = 15\pi - 6\pi = 9\pi \) см².
2. Площадь основания конуса равна \( S_{осн} = \pi r^2 \).
3. \( \pi r^2 = 9\pi \) => \( r^2 = 9 \) => \( r = 3 \) см.
4. Площадь боковой поверхности конуса равна \( S_{бок} = \pi r l \), где \( l \) — образующая.
5. \( 15\pi = \pi \cdot 3 \cdot l \) => \( 15\pi = 3\pi l \) => \( l = \frac{15\pi}{3\pi} = 5 \) см.
6. Найдем высоту конуса \( h \) по теореме Пифагора: \( h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) см.
7. Объём конуса \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
8. \( V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \) см³.

Ответ: \( 12\pi \) см³.