120. Через точку K пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая OK, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата, если OK = b.

Пусть A — любая вершина квадрата. Точка K — центр квадрата, поэтому расстояние от неё до вершины равно половине диагонали. Диагональ квадрата со стороной a равна a√2, значит, KA = a√2/2.

Поскольку OK перпендикулярна плоскости квадрата, OK ⟂ KA. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OKA:

\(OA^2=OK^2+KA^2=b^2+(a\sqrt{2}/2)^2=b^2+a^2/2\).

Таким образом, расстояние от O до каждой вершины равно \(\sqrt{b^2+a^2/2}\). Однако в вопросе сказано найти расстояние от K до вершин; оно равно \(a\sqrt{2}/2\), независимо от b.

Ответ: от K до каждой вершины — \(a\sqrt{2}/2\).