13) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 100°, угол CAD равен 31°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Противоположные углы в сумме дают 180°. Поэтому \( \angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на одну дугу CD, значит \( \angle CBD = \angle CAD = 31^\circ \).

В треугольнике BCD, \( \angle BCD + \angle CBD + \angle BDC = 180^\circ \). \( \angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \). \( \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 80^\circ - \angle ADB \).

В треугольнике BCD, \( \angle BCD + \angle CBD + \angle BDC = 180^\circ \). \( 80^\circ + 31^\circ + \angle BDC = 180^\circ \). \( \angle BDC = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \). Углы \( \angle ADB \) и \( \angle ACB \) опираются на дугу AB. \( \angle ADB = \angle ACB \).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на дугу BC. \( \angle BAC = \angle BDC = 69^\circ \).

Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \). \( \angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = 180^\circ \).

Угол \( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 31^\circ + 69^\circ = 100^\circ \).

\( \angle ABD + 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ \). Это неверно.

Вернемся к \( \angle ADC = 80^\circ \).

В \( \triangle ADC \), \( \angle ACD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \). Это неверно.

Снова: \( \angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

Углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на одну дугу AD. \( \angle ABD = \angle ACD \).

Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на одну дугу CD. \( \angle CBD = \angle CAD = 31^\circ \).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на одну дугу BC. \( \angle BAC = \angle BDC \).

В \( \triangle BCD \), \( \angle BCD = 180^\circ - \angle BAD \). \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \).

Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) противоположные, \( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \) \( \implies \angle ADC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на одну дугу BC, значит \( \angle BAC = \angle BDC \).

Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на одну дугу CD, значит \( \angle CBD = \angle CAD = 31^\circ \).

Углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на одну дугу AD, значит \( \angle ABD = \angle ACD \).

В \( \triangle ADC \): \( \angle DAC = 31^\circ \), \( \angle ADC = 80^\circ \). \( \angle ACD = 180^\circ - 80^\circ - 31^\circ = 69^\circ \).

Значит, \( \angle ABD = \angle ACD = 69^\circ \).

Ответ: 69