14) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 105°, угол CAD равен 29°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Следовательно, \( \angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).

Углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на одну дугу AD, поэтому \( \angle ABD = \angle ACD \).

Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на одну дугу CD, поэтому \( \angle CBD = \angle CAD = 29^\circ \).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на одну дугу BC, поэтому \( \angle BAC = \angle BDC \).

В \( \triangle ADC \) сумма углов равна 180°: \( \angle DAC + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ \).

Мы знаем \( \angle DAC = 29^\circ \) и \( \angle ADC = 75^\circ \).

\( 29^\circ + \angle ACD + 75^\circ = 180^\circ \).

\( \angle ACD = 180^\circ - 29^\circ - 75^\circ = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ \).

Так как \( \angle ABD = \angle ACD \), то \( \angle ABD = 76^\circ \).

Ответ: 76