13.Периметр равнобедренного треугольника равен 37 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов – острый. Найдите стороны треугольника.

Краткая запись:

• Периметр (P) = 37 см
• Треугольник равнобедренный.
• Разность двух сторон = 4 см.
• Один из внешних углов - острый.
• Найти: стороны треугольника.

Анализ и Решение:

В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые), а третья — основание.

Случай 1: Разность боковой стороны и основания равна 4 см.

Пусть боковая сторона = a, основание = b.

Возможны два варианта:

Вариант 1.1: a - b = 4. Тогда a = b + 4.

Периметр: 2a + b = 37. Подставляем: 2(b + 4) + b = 37 => 2b + 8 + b = 37 => 3b = 29 => b = 29/3. Тогда a = 29/3 + 4 = (29 + 12)/3 = 41/3. Стороны: 41/3, 41/3, 29/3.

Вариант 1.2: b - a = 4. Тогда b = a + 4.

Периметр: 2a + b = 37. Подставляем: 2a + (a + 4) = 37 => 3a + 4 = 37 => 3a = 33 => a = 11. Тогда b = 11 + 4 = 15. Стороны: 11, 11, 15.

Случай 2: Разность двух боковых сторон равна 4 см.

Это невозможно, так как боковые стороны равнобедренного треугольника равны, их разность равна 0.

Рассмотрим внешний угол:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других (не смежных с ним) внутренних углов. Если внешний угол острый (меньше 90°), то сумма двух внутренних углов меньше 90°. Это возможно только в тупоугольном треугольнике, где один угол больше 90°, а два других — острые. Однако, в условии задачи сказано, что «один из его внешних углов – острый». Это означает, что соответствующий внутренний угол является тупым (180° - острый угол = тупой угол).

Рассмотрим полученные наборы сторон:

• Набор 1: 41/3, 41/3, 29/3 (приблизительно 13.67, 13.67, 9.67). Проверим неравенство треугольника: 13.67 + 9.67 > 13.67 (верно).
• Набор 2: 11, 11, 15. Проверим неравенство треугольника: 11 + 11 > 15 (верно).

В случае сторон 11, 11, 15, угол, лежащий напротив основания (15), будет тупым, так как основание самое длинное. Если угол при основании тупой, то смежный с ним внешний угол будет острым.

Если бы углы при основании были тупыми, это противоречило бы тому, что сумма углов треугольника 180°.

Рассмотрим набор 11, 11, 15. Основание 15 см. Угол напротив основания является тупым. Соответственно, внешний угол при вершине этого тупого угла будет острым.

Вывод: наборы сторон 41/3, 41/3, 29/3 и 11, 11, 15 возможны. Однако, условие про внешний угол чаще всего подразумевает, что треугольник не остроугольный. Если внешний угол при основании острый, то внутренний угол при основании тупой, что возможно.

Чаще всего в таких задачах подразумевается, что основание является наибольшей стороной.

Рассмотрим вариант 11, 11, 15.

Ответ: 11 см, 11 см, 15 см