16. Миксбордер имеет контур, заданный линиями \( f(x) = x \), \( f(x) = 2x \), \( x = 3 \). Найти площадь данного участка земли, используя определенный интеграл.

Решение:

Площадь участка, ограниченного графиками функций \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на отрезке \( [a, b] \), где \( f(x) \ge g(x) \) на этом отрезке, вычисляется по формуле:

\[ S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx \]

В данном случае, у нас есть три линии: \( y = x \), \( y = 2x \) и \( x = 3 \).

Линии \( y = x \) и \( y = 2x \) пересекаются в точке \( x = 0 \) (так как \( x = 2x \) => \( x = 0 \)).

Линия \( x = 3 \) является вертикальной границей.

На отрезке \( [0, 3] \) функция \( y = 2x \) находится выше функции \( y = x \) (так как \( 2x \ge x \) при \( x \ge 0 \)).

Следовательно, мы будем интегрировать разность \( 2x - x \) от \( 0 \) до \( 3 \).

\[ S = \int_0^3 (2x - x) dx = \int_0^3 x dx \]

Вычисляем интеграл:

\[ \int_0^3 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^3 \]\[ = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2} \]

Ответ: \( \frac{9}{2} \) (или 4.5).