13. Вычислите значение выражения: \( 5^{-\frac{1}{2}} \).

Решение:

Чтобы вычислить \( 5^{-\frac{1}{2}} \), воспользуемся свойствами отрицательной и дробной степеней.

Сначала применим свойство отрицательной степени \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):

\[ 5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}} \]

Теперь применим свойство дробной степени \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \). В данном случае \( n=2 \), поэтому \( 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{5} = \sqrt{5} \).

Подставим это обратно в выражение:

\[ \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \):

\[ \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Ответ: \( \frac{\sqrt{5}}{5} \)