132 Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события: б) А «при первом броске выпадет больше трёх очков» и В «сумма очков меньше девяти»?

Решение:

Событие А: «при первом броске выпадет больше трёх очков». Это значит, что выпадет 4, 5 или 6. \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Событие В: «сумма очков меньше девяти». Перечислим все возможные исходы (36 пар) и посчитаем, сколько из них дают сумму меньше 9:

• Если первый бросок — 1: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) — 6 исходов.
• Если первый бросок — 2: (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) — 6 исходов.
• Если первый бросок — 3: (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) — 6 исходов.
• Если первый бросок — 4: (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5) — 5 исходов (4+6=10 > 9).
• Если первый бросок — 5: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4) — 4 исхода (5+5=10 > 9).
• Если первый бросок — 6: (6,1), (6,2), (6,3) — 3 исхода (6+4=10 > 9).

Всего благоприятных исходов для В: \( 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30 \). \( P(B) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6} \).

Теперь рассмотрим событие \( A \cap B \): «при первом броске выпадет больше трёх очков (4, 5, 6) И сумма очков меньше девяти».

Перечислим эти исходы:

• Первый бросок — 4: (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5) — 5 исходов.
• Первый бросок — 5: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4) — 4 исхода.
• Первый бросок — 6: (6,1), (6,2), (6,3) — 3 исхода.

Всего благоприятных исходов для \( A \cap B \): \( 5 + 4 + 3 = 12 \). \( P(A \cap B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \).

Проверим условие независимости: \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{12} \).

Так как \( P(A \cap B) = \frac{1}{3} \) не равно \( P(A) \cdot P(B) = \frac{5}{12} \), то события А и В зависимы.

Ответ: Нет, не являются.